fwjmath的相空间

二十岁了，是时候总结一下了。请允许我使用那几个评语是B的哲学学分。

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人生就是一场悲剧。

人，生老病死，受自然规律的限制；生命有限，受时间的限制。这些限制，无法打破，而我们想做的想看的想经历的，相对于生命却是无限的。这就是人的悲剧所在：无论如何快乐，如何成就，终将归于虚无。

时间弄人。

但我们还可抗争。先生说过，“悲剧将人生的有价值的东西毁灭给人看”，如果人生没有价值，那顶多是一场闹剧。人之所以为人，不仅是人能知道自己的存在，而且是人能够知道自己终将不复存在，时间将征服一切。人面对这一切，他能做的就是抗争，尽力地抗争。尽管这种抗争对时间无效，该归于尘土的还将归于尘土，但正是这种抗争，面对不可战胜的自然的抗争，凸显了人的价值，纵然在散场后，这种抗争似乎并没有什么意义。

况且，我们也并非没有击退时间的机会。能战胜时间的，就是思想的传播。如果一个人，在百年之后，仍然有人记得他，那么在某种意义上，他就仍然活着。亚里士多德、牛顿、希尔伯特，这些人在某种意义上来说，仍然活着，起码他们的思想仍然活着。他们的命运，或者说他们思想的命运，就跟人类的命运绑在了一起。尽管因为宇宙，时间到最后仍然会是赢家，但在时间和作为个体的人之间的这场角力中，人已经赢了。

既然是悲剧，为什么不好好演一场华丽而悲壮的悲剧呢？

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前几天，太婆去了。

在某种意义上，她是幸福的。晚年身体尚算不错，除了她的女儿我的阿嫲比较惹她生气，别的晚辈对她很孝顺很好。另外有一点令她很高兴的就是，我和我堂哥也算学业有成。她最大的希望就是后辈有出息，还有就是我们这辈快些有人结婚生孩子，延续下去。

在某种意义上，孩子是一个人生命的延续。一个携带了你一半的遗传基因的生命，在百年之后，就相当于代替了一半的你在这个世界上生存、生活。这也是一种延续。

父母为什么对孩子好？因为他们知道，孩子就是他们的延续，而孩子们通常很难领会到这一点。十月怀胎，一朝分娩，供书教学，担惊受怕，父母们没说什么，也不会说什么。而孩子们，他们很难想到这样的视角：其实你就是你父母的一部分。他们会想自己是一个独立的人，但这根本没可能。既然是父母的延续，承载了父母的这么多的希冀，我们有责任好好生存下去，为父母看世界。

当然，时间终结一切。天下没有不散之宴席，而宴席散场之后，当我们真正成为一个“独立的人”的时候，我们会发现，“独立”其实是一种悲哀。但我们仍然承担着父母，甚至是父母的先辈，赋予的责任。生与死，就是一个循环。

我感到了这种责任。

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中秋，高师的一帮中国师兄师姐同学们搞了个聚会，我去了。大家随意介绍了自己，然后吃了些中国菜，吃了月饼和水果，然后有的去游船河去了，我没去。

这不是真正的中秋节。没有与家人团圆的中秋节不算中秋节，再多的月饼再圆的月亮也没用。

暑假的时候，一家出去吃饭，正事没干多少，甚至也没有怎么去玩过，但是心中却很自在。

我总是在脖子上挂着一个玉的佛像，这是我母亲为我去买的。她当然知道我是无神论者，不信这些东西，但她还是让我戴上，我也接受了。当然不是因为我突然投身宗教了，而是因为我认识到，这是玉做的牵挂。

儿行千里母担忧。当时暑假回来的时候，去了一趟上海和北京，当时松鼠会的杨杨和卓群他们都劝我多逗留一个星期，多玩玩，但我还是觉得算了。还是多陪陪家人吧，挺对不起他们的。

当晚阴天，我甚至不能将我的牵挂寄托在月亮上。

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我是个内向的人，这种性格恐怕是难以改变了。我恐怕太喜欢躲在一个角落，将自己掩藏起来了。这种掩藏，可能令我失去了很多朋友，甚至更多。我想告诉你们：我并不是不在乎你们，只是我很少敢于说出来。我也不善于表达自己，我有的只有诚挚。

我习惯了控制我自己的情绪，当然有时候也不能控制。通常只有在一个人的时候，我会允许自己暂时失控，但这也是很少发生的。从北京回来之后，曾经有几次在有控制的情况下释放过，衷心感谢那些听我倒苦水的朋友们，尽管你们可能不知道。

从北京回来之后，曾经和松鼠会的卓群谈过几次。他跟我相反，很有激情。他说，其实性格都是有得有失的。淡定的人，不会特别高兴，也不会特别不高兴；有激情的人，高兴的时候特别高兴，不高兴的时候也特别不高兴。其实就是个权衡。

在华附，我遇到了很大的挫折，也许就是这些挫折把我塑造成现在这样，无所谓好，无所谓坏。

也许也就是这样了。

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我的好朋友中，抑郁症的比例比较高。我也不知道为什么。

一位是爱情失败，一位是学业（事业）失败。可能在这两种极端条件下，人的心理平衡会容易被打破。所以，对这些人，一定要关怀。

我是专门去查过关于抑郁症的书的。抑郁症的一个很具体的症状就是什么都不想做，然后身体有各种各样的不适，而又没有生病。

出门在外，只能靠自己。这一条就成为自查的良方。

当然，我也不害怕。我还有理性支持我。

但是，听过何韵诗的《少年维特》吗？可能在我们看来，抑郁症患者所忧虑的原因，都是很微不足道的。但是于他们而言，这些可以是绝世的苦痛。

对于普通人，也一样。

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爱情是我想不明白的一样东西。

一个人，内心已经非常复杂。再加上另一个同样复杂的心灵，如果纯粹依靠理性的话，必然会陷入无限倒退的推理中，因为显然没有最好的策略。所以，这不是理性可以在其中处理的问题。理性可以理解机制，但不是过程。

我没有什么经验，甚至可以说是没有经验，除了一次经过长期计划的一时冲动以外。可以说，我不知道这是什么。

但还有生活，我知道生活。爱情无论如何都是生活的一部分。所有抽象的誓言是否能在生活中得到应有的投影，这是个问题。海誓山盟，天长地久，要是敌不过柴米油盐，那终究是一场空。

如果不能相守，不如从未开始。

但没有尝试，怎么知道能否开始？

为了自己，应该开口；为了对方，可能需要等待。

在这个循环中我想了三年；我被困在了这个循环中三年。

我打破了。换来的还是继续等待，或者不等待。又一个循环。

可能我很长时间内又要在这些东西中打转。终究我不是一个很容易放开的人。终究我还是不明白。

愿天下有情人终成眷属。

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人而无信，不知其可也。

我爸经常跟我说，一次不忠，百次不用。

于我而言，信誉是很要紧的。在这件事上我不原谅。

善意的谎言，事先或者事后看得出来的，这没关系。不可原谅的是故意的，对别人有损害的谎言。这是永远不能原谅的，我也永远不会原谅。不要说我记仇，人而无信，不知其可也。大家都是成年人了，有些东西的后果是应该知道的，从现在开始“没想到”不应该成为借口。

许诺之前，想清楚能不能实现。遇到意外不能兑现，应该说明原因并郑重道歉。这应该是显然的。

错就要认，打就企定。

这两句话，说起来容易，但很难做到。有很多借口本来不能成为借口。一时看花了眼，不能怨别人；一时记错了，也不能怨别人。

我写科普文章，也被人揪出过错误来。改就是了，但是当时心中还有些不平。现在想来，还是自己不够大度。还需要锻炼。

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君子讷于言而敏于行。

记得初三的时候，年级开中考动员大会，每个班都要派代表上台表决心。我是我们班的代表，我们班是唯一一个没有喊口号的班。下来之后班主任问我为什么，我说我觉得说不如做。

喊一千遍口号，不如实实在在做一道题。如果心中有信念，是否喊出来其实都一样。如果有真才实学，是否说出来区别不大。

腹有诗书气自华。

所以，我在这里说，也是多余的。

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很喜欢不甚高雅的香港流行音乐，主要是因为语言熟悉。喜欢听，也喜欢唱，唱得也还可以。跟同学朋友去唱K，还是挺满足虚荣心的。

后来就在想，大家是为了高兴，我一个人占用太多时间也不好，于是就想尽量克制自己，但常常还是没有做到。可能这还是虚荣心作怪吧。我会继续努力的。

有人唱K是为了发泄情绪，我很少这样，我唱K追求的是唱得好听而不是唱得痛快。当然也有纯粹为了发泄而去唱的，有两次吧，谢谢大家。

要是想发泄的话，在无人的斗室中纵情歌唱恐怕是最好的。

可惜学校宿舍隔音效果不好，从来不能完全放纵。

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自从到了法国，跟人接触就更少了，都是一个小圈子里。倒是网上的朋友越来越多越来越多。

网上的朋友，也可以是真正的朋友。暑假到北京，受到网友的盛情招待。虽然并不豪华，但却格外亲切。

可能是因为通过网络，彼此之间的交流高度抽象，所以能在各自的心中重构出美丽的想象吧。我不知道。

我是个慢热的人，已经有不止一个人这样评价我了。我几乎从不主动找人聊天，除非是公事。我更少找人帮忙，我相信一切都要靠自己。但朋友，或者更特别的人，是可以依靠的，我相信你们。

我不知道这样好不好，也许这就是性格导致的吧，没有好坏之分。

有时候陷入回忆，会觉得以前做的事情未免有些太天真、太武断、太任性、太幼稚。谢谢你们，在当时有意无意地包容了我这些缺点，谢谢你们，网下的和网上的朋友。

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很久没有这样多愁善感过了。

出门在外，要是天天多愁善感的话，是很难生存下去的。所以，控制也就是很必要的。

但是控制是否自然呢？是，又不是。压抑自己的情感，自然并不自然，但这又是自然的需要。

所以，难得好好发泄一次，这也是好事。没有感情的，是石头，而不是人。

我很少表达自己的感情，现在可能也不太会表达了。于我而言，这实在是难事。我现在写下的，可能也只是一片混乱。

如果你读到了这里，那么谢谢，谢谢你肯耐心读这篇并不好的文章。请继续读下去。

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社会是残酷的，它彰显了人性的珍贵。

高中的一个同学，高三的时候离校出走，到了云南边境支教。听他说，看他拍回来的照片，那里的环境比我们生活的地方差太远了。这就是社会的不平等。同一个国家，不同的地方，差异可以如此之大。那里的小孩，能跳出山沟沟的，可说凤毛麟角。而在佛山，有一些人把自己打扮得不伦不类，让别人以为他们跟孔雀同类。有时候我衷心希望这两批人可以换个位置。

这就是社会的残酷。人人并不生而平等，机会并不人人平等。

所以，人性才是珍贵的。总有那么些好人，我们可以看到。

每个地方都有不好的人，在城市是这样，在农村也是这样。更多的人不好也不坏，只是冷漠。

我也很冷漠，尽管我想做个好人。

有时候我在想，如果我们不再需要歌颂善良，不再需要歌颂正直，不再需要歌颂拾金不昧，等等等等，那该有多好。

可是，这恐怕是不能实现的，尤其是现在，好人越来越少。

世态炎凉。

但纳什均衡点往往不是什么好情况，所以这也许不能怪任何人。

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国外跟国内有什么不同吗？

因为我在国外读书，所以很多人这样问我。

我只能说，生活就是生活，其实差别并不很大，可能就是我们担忧没钱买米的时候，他们担忧的是没钱买面包。

但也不是毫无分别。福利好，税收就重；税收轻，福利就不好。福利又不好税收又重，那就要检讨一下了。

钱不是要来扔着玩的，拿钱就要做事，不过如果没人监督或者没人可以监督又或者没人愿意监督的话，那等于白搭。

真相很多人都明白。

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业余管论坛，一个很平静，一个很吵闹。

平静的那个是不用多操心的，大家都很讲道理，有不讲道理的很快就被淘汰了。

吵闹的那个很麻烦，时不时有民科或是些不着调的人，我还要有理有力有节，有时候实在没那个耐心。封人，特别是民科，本来是很正常的一件事情，但总有人说要维护他们的言论自由。自由，自由，他们有自由的权利，那么他们践行过自由附带的义务吗？

我不是一个支持专制的人，但有时候，一个论坛有一个论坛的氛围，不适合的，好，请出门右转。

很多东西也都是这样。适合你的，来了，那很好；不适合你的，走了，也没问题。不适合你，别人请你走你还赖着不走，还腆着“自由”的脸皮，这就别怪别人心狠手辣了。

自由自由，多少罪行假汝之名！

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很多人有写日记的习惯，说是记录往事。

我一直没有这个习惯，因为很多时候，写出来的日记到最后还是要毁掉的。

一件事情，如果不放到长远之后再看的话，难免会为一时的情绪所扭曲。很多事情，不经过时间的洗礼，真正的意义是看不出来的。但要是每天记日记的话，每天记下的都是一时的想法，即使是后来自己看了，也不免骂自己当时没有过脑子。那么，又何必呢？

比如说，当时创新大赛之后，我曾经写过一篇很晦暗的博文。现在看来，其实相当幼稚。社会本是如此，一厢情愿是没用的。现在还留着，就是为了记录这件事。

那么，日记又何尝不是有记录的意义呢？可是，并非所有事情都值得记录，也并非所有事情都应该记录，更并非所有事情都应当时立刻记录下来。

所以，我还是等待时间揭晓每件事真正的意义。

这篇文章，也是这样，仅为记录，因为之前没有记录过，而时机也成熟了。

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帮助别人，很多时候是一件好事，尤其是当这件事只是举手之劳的时候。

我偶尔做这样的小的好事，有时候已经成为习惯。比较大的好事也做过，但是不是很多，因为我本来能力就不是很大。

有时候，帮助别人是应该的。朋友有心事，找他聊一聊，或者至少看着他的状态。别人开了口，请你帮忙，又是举手之劳，而且不是干坏事，那么为什么不帮呢？

我妈常说，施恩莫望报，这是很有道理的。不是说你怎么对别人，别人就一定会怎么对你的。当然，真正的朋友不在此列。

就比如说，有些朋友有心事，会找我聊聊，但我有心事的时候，不一定会找谁，更多的时候还是自己一个人想，我不想别人为我担心。谢谢那些听过我倒苦水的朋友们。

但是帮忙也是有限度的。有时候我觉得烦了，会拖，会敷衍。毕竟，我没有帮助别人的义务。

我知道，没人有帮助别人的义务，一切最好还是靠自己。

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一直不喜欢将自己的想法写出来，或者是说出来。

思想一旦写出来，就变了，很多细微的地方没有了，而别人一看，很容易就把意思领会错了。我一直说，文章写出来之后，就不是作者的了。

我曾经写过一篇小说，第一篇也是目前为止唯一一篇。给过为数不多的人看过，然后问他们，这篇小说到底想说什么。结果没多少人领会到的是我的本意。也许你会说是潜意识的原因，那我也不能否认，但起码证明了足够好的思想传递是不能达到的。

我也害怕让别人知道我其实在想什么。不知道为什么，就是害怕。软件的源代码蕴藏了运行的秘密，人的想法也是这样。将自己的想法写出来，似乎是一种很冒险的行为。

但是，总这样掩藏起来，也并不是很好，是很不好，非常不好。

二十岁了，也应该总结一下了。

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谢谢你，看完了这篇混乱的文章。这并不好看，但很真实。

今天，从父亲那里得知，太婆去世了。

在我印象中，太婆是位健谈的老人。九十多岁了，耳聪目明，言谈仍然很有逻辑，记性也很好。我见她不多，读书之后尤其少，但每次见到她都十分高兴，她看到我当然也十分高兴。虽然平时由于工作，我父母不能经常去探望她，但逢年过节也会接她一起吃饭，大家高高兴兴。

太婆对于吃的要求是很高的。不是指食物要高档，而是要新鲜，做得好吃，营养丰富，有益健康。可能这也是她长寿的原因之一。

在我记忆中，太婆是个很好的人，头脑很清晰，也很乐于接受新鲜事物。我上小学的时候，她经常下楼，跟邻居的那些老太太们打天九，这也就是十年前的事情。后来听说，她通过这样的跟邻居的闲聊知道了不少新的名词，说明她的头脑还是很敏锐的。

前几年，她受伤过几次，有一次是自己去领退休金的时候不小心摔了一跤，骨折了。本来这些伤对老人来说是很严重的，因为老人的细胞分裂能力不是很好，但她经过几个月的休息居然痊愈了，起码是可以自己走路不用拐杖。所以，本来这次我是觉得她也可以跨过去的，这次的问题还没有那次那么严重。

再问了问，直接原因是大脑血管堵塞，或者说脑血栓，不是这次入院的原因。她前两天跟她女儿也就是说我的奶奶吵了一架，不知道是不是这个原因。当然，我并不想责备谁，人已经去了，责备也没用；两位都是我的长辈，我也不好说什么。

太婆常说，她现在这样就已经很满足了，能吃能睡，我父亲和我伯父事业有成，我和我堂哥学业有成，我姑妈又很关心她很照顾她。能让她动气的事情，真的不多。一位老人，本可享期颐之天年，而且是生活质量不低的那种，但事已至此，回天也已乏术，追悔早已无用。

人去灯灭，无可挽回。

谨以此文，遥寄哀思。

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本文来源：科学松鼠会。http://songshuhui.net/archives/20161.html

Wir müssen wissen, wir werden wissen.

我们必须知道，我们必将知道。

你听到的，正是80年前，1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，也是鼓舞一代数学家的六个单词。尽管当时第三次数学危机仍然阴魂不散，但他们坚信，数学大厦的基础是坚实的。他们也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中。

这是何等的气魄！这是何等的梦想！

但就在演讲前夕，他的同胞哥德尔，作出了一个断言，彻底打碎了这个梦。

希尔伯特计划

希尔伯特是一位名副其实的数学大师，有人将他称为“数学界最后一位全才”，他看待数学的眼光也是相当深刻的。

师从林德曼，希尔伯特在23岁便以一篇关于不变量理论的论文跻身数学界。他的证明方法在当时相当具有争议性。在这篇论文中，他使用了非构造性的证明，也就是说他只能证明某个数学对象的存在性，却无法将它具体指出。另外，他的证明依赖于对无穷的对象使用排中律，从而遭到了不少人的质疑。

排中律，说的就是一件事非真即假，这再明白不过了，为什么还有反对的意见呢？

比如说这样一个命题：pi中含有任意长度的连续数字9。如果我们接受排中律的话，这个命题非真即假。但无论这个命题是真是假，我们都无法在实际上验证，因为要验证这个命题，我们都要将pi无穷地计算下去，而这是不可能做到的。所以，人们对于将排中律用到这种无穷的情况仍有顾虑，因为这不是他们的直觉能掌握的范围。

我们不知道是否因为这件事，希尔伯特动起了为整个数学寻求一个坚实基础的念头，但我们可以知道，在经过多年在不同数学领域富有成果的涉猎后，希尔伯特将目光投向了整个数学。对平面几何学的严格公理化可能是他在这方面的第一个尝试，但他的思考绝不仅限于几何。他的目标是将整个数学体系严格公理化，然后用元数学——证明数学的数学——来证明整个数学体系是坚实的。

为了这个目标，他制定了著名的希尔伯特计划。

首先，将所有数学形式化，让每一个数学陈述都能用符号表达出来，让每一个数学家都能用定义好的规则来处理这些已经变成符号的陈述。

然后，证明数学是完整的，也就是说所有真的陈述都能被证明，这被称为数学的完备性；证明数学是一致的，也就是说不会推出自相矛盾的陈述，这被称为数学的一致性。

最后，找到一个算法，可以机械化地判定数学陈述的对错，这被称为数学的可判定性。

如果这个计划完成了，那意味着什么？在保证数学的一致性这个前提下，我们又有数学的完备性，也就是说只要是真的都可以证明。这其实就是说，对于任意一个数学猜想，不管它有多难，只要假以时日，通过一代又一代人的努力，总是可以知道这个猜想对不对，并且证明或否定它。

这是个雄心勃勃的计划，但希尔伯特并不认为这是不可能的。他提出，先在基础的数学系统进行这样的形式化，然后再将其推广到更广阔的数学系统中，最后实现整个计划。于是，整个计划便归结于在算术系统中进行这样的形式化，并且在它的内部证明它的完备性、一致性和可判定性。

这似乎不太困难。算术系统并不是一个很复杂的系统，它早在1889年就被皮亚诺归结成一个有5条公理的系统，其中只有最后一条数学归纳法公理比较复杂。我们可以想象，希尔伯特本人也认为这是可以解决的问题。他将算术公理系统的相容性列入了他那23道希尔伯特问题中，位列第二，希望20世纪的数学家能给出一个证明。这份1900年写出的问题表，后来证明是相当具有前瞻性的，即使情况并不一如希尔伯特预计的那样。

1931年，仅仅在他退休一年之后，希尔伯特第二问题即告解决，尽管解决的方式是希尔伯特所没有预料到的。

逻辑弄人。

哥德尔不完备性定理

可以说，哥德尔粉碎了希尔伯特计划。

在希尔伯特退休之时，哥德尔才刚刚登上数学舞台。在某种意义上，正是希尔伯特间接将哥德尔引领到数理逻辑这个领域的。在希尔伯特和他的学生阿克曼合著的《数理逻辑原理》中，他们提到了这样一个问题：在形式系统中，真的命题是否都是可证明的？这正是哥德尔博士论文的主题。在这篇论文中，哥德尔证明了一阶谓词演算是完备的，这就是不太著名的哥德尔完备性定理。一阶谓词演算是一种能力比较弱的数学系统，如果只是应用它的话，我们连自然数都定义不了，就更别说做算术了。自然，哥德尔的目光是不会仅仅局限于此的。

在完成博士论文之后，哥德尔便着手探索更一般的数学系统。一年后，也就是1931年，他对算术系统的探索即告胜利。这个胜利，也就是希尔伯特计划的失败。他的结论，就是哥德尔不完备性定理，一共有两个。

第一，他证明了，对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么这个系统不可能同时是完备的和一致的。也就是说，要是我们能在一个数学系统中做算术的话，那么要么这个系统是自相矛盾的，要么有那么一些结论，它们是真的，我们却无法证明。

第二，他证明了，对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么我们不能在这个系统内部证明它的一致性。这就是希尔伯特第二问题答案的一部分。

哥德尔证明这两个定理的武器，就是希尔伯特在他的计划中使用的武器：形式化。在哥德尔的证明中，他先将所有的数学陈述以及它们的证明用符号形式地表达出来，然后利用哥德尔自己发明的一个重要技巧——哥德尔数化——将所有这些陈述和证明变为一个个的自然数。那么，借助数学归纳公理，我们可以递归地建立针对所有自然数的陈述，而一个这样的陈述同时又是一个自然数，所以它描述了自己。换句话说，这个陈述陈述了它自己。

这种自指的情况，在数学上很有用，也非常凶险。它是不少悖论的源泉。第一个例子当然是说谎者悖论：“这句话是错的”。第二个就是罗素悖论，它引起了第三次数学危机，这也可以说是希尔伯特计划的一个动因。

我们来看看它的一个通俗版本，叫理发师悖论。

在一个小镇内，只有一名理发师，他在理发店门外公布了这样一个原则：只为不会自己理发的人理发。那么，他的头发谁理呢？要是他自己理的话，他就会自己理发了，那么根据他的原则，他不应该为自己理发；要是他不给自己理发的话，根据他的原则，他倒是应该给自己理发。逻辑似乎在这里失效了。

这种逻辑上的混乱局面，背后就是罗素悖论：定义一个集合，它包含所有不包含自身的集合，它是否包含自身？从上面的分析，我们可以看到，一切问题在于“包含自身”这种自指的描述。后来，在策梅洛和弗兰克等逻辑学家的努力下，通过在集合论中添加正则公理等限制，才将这种危险的自指从集合论中排除。当然，这是后话了。

这种自指的性质，尽管危险，但在哥德尔的妙手中，它就变成了证明的利器。他构造了一个命题，这个命题说的正是它自身的不可证明性。如果用类似说谎者悖论的语言来表达的话，就是：“不存在对这个命题的形式证明。”如果它是真的，那么它是不可证明的，说明系统是不完备的，因为存在一个真的而又不可证明的命题。如果它是假的，那么存在一个它的证明，这样它应该是真的，说明系统是自相矛盾的、不一致的。这就是哥德尔的第一个不完备性定理：如果有自然数的话，完备性和一致性不可得兼，这个系统要么自相矛盾，要么存在不能证明也不能否证的命题。

然后，我们来仅仅考虑一致性的问题。假定系统是一致的，也就是说不会自相矛盾的，那么我们刚才提到的命题就是不可证明的。如果我们能在系统内部证明系统的一致性的话，我们就相当于在系统内部证明了那个命题，这与不可证明性是矛盾的。也就是说，我们做了错误的假设：能在系统内部证明系统本身的一致性。由此，哥德尔证明了他的第二个不完备性定理。

他的这两个不完备性定理，对于希尔伯特计划是个沉重的打击：计划的第二步被证明是无法实行的。如果我们假定数学不会自相矛盾的话，我们就必须承认数学是不完备的，也就是说有这么一些数学命题是不可判定的：我们既不能证明它们为真，也不能证明它们为假。但很多数学家仍然认为，这并不威胁数学的正常发展，因为他们觉得有意义的数学命题极不可能是这样的。换句话说，数学家们仍然相当乐观。

同样是哥德尔，这次连同科恩，给这些数学家敲响了警钟：数学家研究的“有意义”的数学命题也可能是不可判定的。他们解决的又是一个希尔伯特问题：由康托尔提出的连续统假设。这个问题位于列表之首，是一个纯粹的集合论问题。哥德尔证明了连续统假设和策梅洛-弗兰克集合论是相容的，也就是说二者之间没有矛盾；科恩证明了从策梅洛-弗兰克集合论出发不能证明连续统假设。这两个结果综合起来，其实就说明了连续统假设在策梅洛-弗兰克集合论中是不可判定的。要是你知道策梅洛-弗兰克集合论正是解决第三次数学危机的武器和现代数学的逻辑基础，你就会明白这到底意味着什么。

哥德尔的魔鬼第一次露出了真面目。希尔伯特第一问题竟然就是不完备性定理中预言的那类不知真假的怪异命题的一个实例，这实在令人泄气。

既然希尔伯特计划的第二步都被证明是不可行的，那么第三步也就没有必要继续下去了。第三步是寻求一个能机械证明所有数学定理的程序，著名的停机定理也否定了这种可能性。停机定理的证明相对比较简单，也是利用自指的技巧，证明这样程序是不可能存在的。

至此，希尔伯特那宏伟的计划宣告全盘失败。

有些事情，我们确实不知道，即使对于数字，这是逻辑说的。

余波

令希尔伯特在天国的灵魂有所安慰的是，算术系统的一致性被证明了。这个证明用到了不在算术系统内的超限归纳法，它可以被视为一种加强版的数学归纳法，是用在无穷序数上的。这其实就假定了策梅洛-弗兰克集合论的一致性。当初康托尔建立无穷集合论时，曾遭到不少人的攻击，这时希尔伯特挺身而出，为康托尔和他的无穷集合论疾呼：“没人能将我们从康托尔创造的乐园中赶出来。”如今，康托尔的无穷集合论衍生出来的超限归纳法反过来又部分实现了希尔伯特的梦，这是冥冥之中的安排，还是希尔伯特的敏锐眼光所致？恐怕没人能说得清楚。

但哥德尔的魔鬼仍在肆虐。越来越多的数学问题被证明是不可判定的，这些不可判定的问题也越来越初等。乍看起来并非不可捉摸，但到头来却不可判定。比如说，如果我们用可数种颜色对每一个实数染色，是否必定存在4个互不相等的数a,b,c,d，使得它们的颜色都相同，而又满足a+b=c+d？这看起来怎么也不像没有一个确切结论的问题，但有人证明了它实际上和连续统假设的否定是等价的，也就是说，在策梅洛-弗兰克集合论内，它也是不可判定的。这就给数学家们心头压上了一块大石：谁也不知道自己辛辛苦苦做了十几年的题目，会不会突然有一天被证明是在现有数学体系中不可判定的。

尽管这样，哥德尔的不完备性定理仍然带给我们很多教益。至少我们知道了，有些东西我们不可能知道。在哥德尔的这个划时代的证明之后，数学家对数学的基本工具——证明——有了新的认识。专门研究数学证明的证明论，在他的启发下蓬勃发展。但是，哥德尔教给我们最重要的一点是：

数学，如同人生，如同爱情，有些东西是真的，你却永远无法证明。

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本文来源：科学松鼠会。http://songshuhui.net/archives/20062.html

译者自然是我~~~

译者附言：感谢论坛的Marmelader帮助翻译“暗星系”小节的一部分，感谢pchu和gerry的宝贵意见~~~

银河系本应为众多迷你星系所簇拥，事实却并非如此。如Marcus Chown所言，这给我们对引力的理解出了道难题。

如同扑火的飞蛾，数以千计小型的伴星系围绕着我们的银河系纷飞。这是天文学家所梦想的场景，与我们已建立的关于银河系附近环境的模型契合无误。不幸的是，这个梦与现实相去甚远。

据我们所知，只有25个凌乱的伴星系在银河系外围飘泊流浪。“我们看到的伴星系只有预计的百分之一。”德国波恩大学的Pavel Kroupa说：“这个情况要说明的东西再清晰不过了：我们对星系形成过程想象的图景之中，有些东西大大地搞错了。”

伴星系的明显短缺并不是令人震惊的唯一原因。今年早些时候，在德国Bad Honnef举行的一场会议中，Kroupa和他的同事展示了对已知伴星系位置和运动的一项分析。他们指出，这些伴星系以出乎意料的方式围绕着银河系转动，而综合之后得到的结果与主流宇宙学的观点相悖。Kroupa说，只有一种方式可以解释这些结果，就是万有引力比牛顿预想的要更强。

对牛顿的万有引力定律提出质疑，这向来是富有争议性的。但无论真理在谁手中，关于银河系伴星系的研究已经成为了暗物质理论和修正的引力理论之间对决的新战场。

我们从数十年的观测中得到的关于宇宙的标准图景是这样的：看不见的冷暗物质的总质量是可见物质的6到7倍，而你、我、行星和恒星都是由可见物质组成的。没人知道暗物质的组成，人们假定它存在是为了解释：为何旋涡星系中的恒星能够以极高的速度绕着星系核心公转，而不会被甩入虚无的星际。在旋涡星系中的普通物质不足以提供足够的引力，所以额外的引力应该是由数量巨大的暗物质所提供的，这样才足以避免这些严重超速的恒星飞走。

在早期宇宙的成型过程中，人们认为暗物质也扮演了关键的角色。在大爆炸后，暗物质率先在引力的作用下聚集成团。因为它们不与光相互作用，所以不会被大爆炸的火球“吹散”。稍后，普通的气态物质掉进了这些被称为暗物质晕的团块中。在这里，气态物质聚集成恒星，形成可见的星系。

这个暗物质版本的星系形成图景有一个关键的特点：暗物质会形成大小各异的晕。根据宇宙学的标准模型，银河系形成所需要的暗物质晕周围应该会有数以千计的小晕，而这些小晕也会孵化出小的伴星系。

那么，为什么我们看不见这些小的伴星系？也许仅仅因为绝大部分伴星系只包含数千恒星，太暗了从而难以辨认。（《新科学家》，八月十五日，第10页）

另一个问题就是，仅凭肉眼我们很难判断天空中的一群星星到底是真的聚在一起，还是本来距离迥异但由于巧合处于同一方向上。证明星星的确聚在一起，需要借助计算机进行搜索，还需要对恒星颜色的详尽分析来给出它们的相对距离和类型。这是个既吃力又昂贵的活计。

潮汐矮星系

尽管如此，在近五年来，借助于斯隆数字化巡天（Sloan Digital Sky Survey，SDSS），我们发现伴星系的速度上了一个台阶。在SDSS之前的30年，我们只发现了9个伴星系，但自从有了SDSS，我们又发现了15 个，其中最大的直径为1000光年，只是银河系直径的百分之一，而最小的直径只有150光年。尽管有了这些进展，已知的伴星系数量还是远远少于冷暗物质模型的预测。

“失踪的伴星系”并不是唯一的谜团。Kroupa和同在波恩大学的同事Manuel Metz，还有来自奥地利维也纳大学的Gerhard Hensler和澳大利亚堪培拉附近斯特姆洛山天文台的Helmut Jerjen，四人研究了为数甚少的已知伴星系的位置和运动。他们发现，大部分的伴星系都很靠近同一个与银盘垂直的平面。另外，绝大多数伴星系都按照同一方向绕银河系公转。“这与银河系形成的暗物质模型完全不相容，”Kroupa说。他指出，这些伴星系应该更像一群蜜蜂，轨道没有规律，总体呈球形分布。

如果暗物质模型不能解释银河系伴星系的起源，那么，它们起源何处？据Kroupa所言，从麦哲伦星流中我们能找到启示。在银河系引力的作用下，大麦哲伦云被拖出了一条长长的尾迹，这条由气态物质和恒星组成的尾迹就是麦哲伦星流。（The Astrophysical Journal, vol 697, p 269）

在100至120亿年前，当银河系刚刚诞生时，这类潮汐效应更为普遍，因为在当时快速膨胀的宇宙中，星系之间的距离比现在小得多。Kroupa和他的同事说，当时年轻的银河系通过万有引力，把过路星系的气体拖了出来，形成了古老的“潮汐矮星系”，后来就变成了今天的伴星系。“如同麦哲伦星流，这样形成的伴星系在平面上自然会排成一顺，而运动方式也相似。”Kroupa说。

这个解答看起来很简洁。但“今天的伴星系就是以前的潮汐矮星系”这个想法引出了另一个问题。对伴星系内恒星速度的测量表明，这些恒星围绕伴星系公转的速度非常快——按照这个速度，它们本应早被甩到星系际空间中了。

这正是天文学家在旋涡星系中发现的问题，他们引进了暗物质来解释它。“麻烦在于，引进暗物质的修正不能用在由潮汐矮星系形成的伴星系上。”Kroupa说。原因与星系相互作用或者碰撞时，普通物质和暗物质在行为上的差异有关。

在一个名为子弹星系团的天体中，这种差异尤为明显。子弹星系团是由两个星系团碰撞而形成的。钱德拉X射线天文台拍摄到的图片显示，当两个星系团碰撞时，这两团巨大的气体云面对面撞在了一起，移动速度都变慢了。但质量分布图却暗示两个星系团的暗物质不受影响地穿过了彼此，将对它们引力依依不舍的普通物质扔在了身后。

Kroupa估计，当潮汐矮星系形成时，暗物质和寻常物质也是以这样相似的方式被分开的。难题就来了：伴星系中的恒星以疯狂的速度公转，这个事实“尖声呼唤着暗物质”，Kroupa说，“但其它的证据都表明这些伴星系不可能含有暗物质。

那么，如何解释在潮汐矮星系中恒星那非同寻常的高速度呢？Kroupa认为，唯一的答案就是修正引力。他最青睐的一种暗物质替代品被称为修正的牛顿动力学（modified Newtonian dynamics，简称MOND）。这个理论是在上世纪八十年代初由Mordehai Milgrom提出的，现在他在以色列的魏茨曼研究院。MOND宣称，当加速度低于某个关键值时，引力会比牛顿定律预言的要大。对于在旋涡星系外围的恒星，因为它们的加速度比那些在中央的伙伴低，所以受到的引力会比牛顿预言的要稍强。通过一个简单的公式，Milgrom可以解释那些旋涡星系中已测量的恒星运动速度。

MOND是暗物质的一个合乎逻辑的替代。然而，我们难以找到两个理论的预言产生分歧的场景。现在，这种情况改变了。Milgrom认为在预言银河系伴星系的数量、位置和速度上，我们显然看到了暗物质模型的失败。他说：“在这个再简明不过的情况里，MOND赢了，暗物质输了。”

然而，在牛津大学的James Binney对此则不太赞同。与Milgrom形成鲜明对比，他宣称伴星系之谜支持了暗物质图景。“实际上，在这个再简明不过的情况里，暗物质赢了。”

暗星系

MOND与暗物质各自的拥趸为何对相同观测结果的解释如此截然不同？

Binney建议大家细看星系形成的暗物质图景。在大爆炸的余波中，时空中的量子涨落使宇宙中一些区域物质较多，而在另一些像空洞的地方，物质则少得多。这些空洞膨胀的速度比物质稠密的区域更高，因为物质稠密区域的膨胀会被其中物质相互的引力制约。

当空洞膨胀并互相连接时，它们会吧暗物质和普通物质挤压成条条片片。Binney说，“我们可以在星系的分布上看出这点。”宇宙就像一块由星系构成的巨大的瑞士奶酪。

他发现，物质被挤压的过程在银河系的尺度上也在发生：暗物质可能沿着一定的路径涌入银河系（New Scientist, 18 July, p 34）。所以Binney认为，我们看见伴星系大部分被禁锢在单个平面以相似的方式运动，这很正常。“暗物质图景可以完美地解释它们的性质。”他说。

但如果伴星系的位置和运动与暗物质模型相符，为什么我们仅看到了期望数量的1%？Binney不认为这有问题。他说，失踪的星系只是因为太暗，我们没有发现而已。或者“它们可能仅仅由暗物质组成”，没有足够的气体来点亮恒星。

Binney指出，由位于德国海德堡的马克斯·普朗克天文研究所的Sergey Koposov的小组新近发表的一项研究表明，我们看到的伴星系仅仅是冰山一角。从已经观测到的伴星系的性质来看，Koposov预测，应有数以千计尚未发现的超暗星系。（The Astrophysical Journal, vol 696, p 2179）

但为何这些含有大量气体和暗物质的伴星系竟然没有多少恒星，个中原因并不明朗。抑制恒星的形成牵涉到复杂的机制，而大家一致同意，我们对这些机制并不了解。“这就是暗物质模型的死穴，”Binney承认道：“但这只是说明，为了让这个模型有血有肉，我们还有很多工作要做。”

Milgrom和Kroupa并不信服。他们坚持认为，暗物质模型的致命漏洞正是在于它需要一个机制来阻止恒星的形成。但为了说服别的研究人员，他们需要付出极大的努力，因为大部分天文学家的研究早已与暗物质结缘，他们不会轻易将三十多年来的工作付诸一炬。Binney认为，事实上暗物质和MOND 二者都有各自的缺陷。

那这二者何时能决出高下呢？答案可能取决于一副银河系外围的引力地图。通过详细绘制所有可见伴星系和球状星团的运动图，我们应该可以从中推测出所有黯淡伴星系的存在，即使我们无法看见它们。假如结果如同暗物质模型预言的那样，那里有数以千计的超暗星系的话，那暗物质的支持者就赌赢了。反之，暗物质就只剩下垂死挣扎了。

在没有这样的引力地图的情况下，双方的决斗更像是在闹着玩，而不是真刀真枪决一死战。现在，银河系的外围仍然是两种观点碰撞的广阔战场。

Marcus Chown是Quantum Theory Cannot Hurt You (Faber, 2008)的作者。

译者注：

我来做做广告~~~

有一个名为MilkyWay@home的志愿计算项目，目的就是通过对斯隆数字化巡天的信息进行大规模的搜索来进行银河系伴星系的研究。更细致地说，他们研究的是人马座矮椭球星系被银河系的潮汐力牵引出来的人马座矮星系星流（请参见“潮汐矮星系”一节）。研究人员希望，通过对人马座矮星系星流的仔细测量，可以获得银河系外围的质量分布图，也就是说最后一节提到的引力地图。

你也可以出一份力！这个项目的网站是http://milkyway.cs.rpi.edu/milkyway/，只需要下载一个叫BOINC的软件，作一些简单设定，你的计算机就会开始帮助研究人员绘制人马座矮星系星流的具体位置了。如有疑问，欢迎到http://www.equn.com /forum/forum-11-1.html询问。

话说两个星期前，我到了斯特拉斯堡。我到斯特拉斯堡只有一个目的：搬家到巴黎。

搬家嘛，首先就要回住处，那就是非著名的Lycée Kléber了。在这里顺带说说这个Lycée的中国人的情况。我们这一届的三个和上一届的其中两个都去了高师集团，以至于Lycée Kléber有了“专出高师bis”的美誉。我们两位师弟，一位毫无疑问地进了星班，选的是SI，去年令Vinot倍感欣慰；另一位也毫无疑问变成了MP3，与Suffrin（我们叫他suffering，一个上课喷粗话的家伙）共事。还有一位我们介绍去复读的，现在大赞Génaux的教学水平。至于一年级的，因为MP3同学当时在选学校的时候发表的不实言论，今年木有……人们纷纷表示极其可惜，可惜的是这么好的学习和生活环境浪费了……

闲话休提言归正传，话说我到的那天就立刻到学校找师弟拿行李和信件了。一方面是为了准备搬家，另一方面因为我没钱花了……话说我的信用卡在7月到期，于是新的信用卡被寄到了学校。要是拿不到新的信用卡的话，我没法花钱……不出意料，信用卡就在信件中，令人惊喜的是ENS给我的信件也有了。

在这里又要讲一段插曲了。话说学校入学总是要寄一些文件的，于是我留给ENS一个中国的地址，是我一位在邮局工作的亲戚家的。但是，竟然没有收到……我那位亲戚去问的时候，发现负责国外邮件的唯一一位同志放假去了……后来那位同志放假回来之后，仍然没有找到信件，并且说可能不知道扔到什么地方去了……我听到这个噩耗之后恶寒了一阵，从此对中国邮政失去了信心……

再次言归正传。信是高优先级的，然后看内容是9月2号寄出的，6号前就收到了，可以说非常高速。信中的成绩单让星班学弟和复读同学admire了一下。拿了行李，就匆匆回到了旅馆。顺便在火车站买了到巴黎的TGV车票。

接下来一天，整理好行李之后，顺便去了著名景点Petite France再看了看，上次去都是第一年的平安夜了。在白天欣赏确实能看出来，建筑很有阿尔萨斯的风情，几条小河之间的公园更是令人心旷神怡，我坐在那里看了两小时的《矩阵论》，居然看进去了一点，实在是神奇。虽然学的Info，但是看看矩阵论还是有益的。

翌日，拖着一个大箱一个小箱外加背上一个超重的背包，我登上了到巴黎的TGV。3个小时不到的路程，一半时间我都在打盹。没办法，这些天这些东西搬来搬去太累了……

11点多到了巴黎，拖着两个箱子找旅馆……找到的旅馆木有电梯，于是我要自己把小箱子提到4楼……

下午约了欧文去高师打探情况，那天是9号，到了才惊悉我们是11号才注册。在校园的花园内遇到了我的一位同学，再次惊悉原来房间已经分配好了去门卫那里拿钥匙就可以入住了……也就是说，宾馆的钱白花了……

拿了钥匙，看了房间，看起来还不错。然后回到宾馆，好好休息，准备第二天搬行李。

躺在床上，看了个电视，说毛主席的。历史果然是有潮流的，中国的封建惯性的确是太大了。现在许多问题，也都是这个惯性在起作用。看到文革的那段，只觉得毛主席其实还不了解中国人的国民性，看不到这个惯性的潜在威力。到后面，他自己都厌倦了，整个事件也演变成了一场闹剧，但是是要命的闹剧。他点火，以为只是烧掉杂草，没想到这是个常年干旱的密林。

一夜无话。

第二天就去搬行李，这么多行李我跑了两次才搞定，然后就是忙碌的收拾房间。现在房间是这样的：（请原谅我的不整洁……毕竟我是个geek……）

这是柜子，啥都放的柜子，有书有纸有早餐有罐头有锅有油有衣服~~~

桌子，很乱……

床和床头柜，床头柜放了很多乱七八糟的东西，床单因为找不到地方固定所以总是乱糟糟的……床头放了一本《计算机算法》，还有一本是从图书馆借来的书。

简单的盥洗室，厕所和冲凉房都是公用的……

就是这样~~~

大约6个小时后，我就会坐在去法兰克福的航班上了。当地时间5点到，当地时间8点搭车到斯特拉斯堡，当地时间11点到，下午拿行李，买火车票到巴黎。如果顺利的话，大约8号或者9号到巴黎，11号注册。

安顿下来之后我会再说情况的了~~~

通过优美树验证项目，我们验证了含有34个顶点的树都是优美的。它们是用经过改进的算法进行验证的。

更多资料请参见：

http://fwjmath.spaces.live.com/blog/cns!6A37A2A4F21FF4DE!1307.entry

http://www.projectgtv.cn/

细节太多，要是写流水帐的话半天写不完，挑一点重点说说吧~~~

在巴黎花钱如流水。地铁票是要买的，逃也可以逃一点。Centrale和X都在Zone3外，RER的价钱和普通巴黎内部使用的不同，要注意。节假日可以买通票，计算之后再决定买不买。地铁票可以一次10张地买，叫carnet，会省一点。吃的话大家自便吧。X只能吃饭堂；Centrale可以自己做可以吃饭堂，饭堂还是不错的，3欧不到；ENS附近东西普遍贵，有一家叫“新巴黎”的中餐馆可以将就，当然也有老麦；Mines在Ponts考，要尽早去它网站上订房子，要不然要住很贵的旅馆，至于吃东西的话似乎没啥可吃的，我天天sandwich。

口试不要紧张，没想象中那么难。有可能运气不好摊到难题，但是尽力的话分数估计还是会不错的。有幸去考ENS的TP algorithmique的人，前一天晚上注意休息，做题的时候第一道伪随机数生成一定要仔细检查，后面的题的数据都依赖这个的。志愿去X的人订机票的时候不要忘记了visite medicale的存在性。Mines的中文还是值得一考的，见识一下会说中文的法国老太太。Centrale的TP其实不难，关键要仔细。Centrale的Math2基本上考的就是maple，最好弄熟一点。X的体育考三样，游泳不要考了，一年不下水或者蛙泳的话通常吃力不讨好，反正跑步那里捞够2分就行。

口试期间常常要在巴黎里边跑来跑去。最好随身带地图或者地铁图，没有的话在地铁站入口附近有附近的地图可以看看。少带点东西，衣服要勤洗。去X最好不要星期天去，非星期天的话有公交直接到山上，星期天的话只能从RER B的Lozere站用手把行李提上几百级台阶，很累的。别的地方都还好。

去X之前，一定要备上一些一欧两欧和半欧的硬币，洗衣服要用，而且山上没地方让你找零钱。Centrale用的同样的系统，不过那里饭堂找不少钱，所以看着办就是了。ENS会分配住在Montrouge，免费洗衣服，不过自带洗衣粉。Mines不清楚，我住了两天很贵的旅馆，也没洗衣服就出来了，后来去Centrale才洗的。

千万不要生病！！预备些药，主要是感冒药和肠胃的药。一般来说是不容易病的，但是为了以防万一还是带一点比较好。手机在巴黎是很重要的，可以办一个卡，只要不经常打电话的话是不贵的。

好像就差不多了，有啥漏了的请补充~~~

上个星期去了Ecole Polytechnique（简称X）口试~~~实在是不错~~~

X位于巴黎外围Palaiseau的Lozere的山上……山上除了学校啥也没有……于是上星期六我把一大堆行李（其实算是少的了，一个小箱子+一个书包+一个电脑包）强行拖上山之后，就暂时住在罗师兄（也是Kleber的）的宿舍里。刚安顿好，running到山下了……然后又做了一次苦力（或者说好人）帮忙把行李又拖上山了。两百多级的台阶还有几十米45度的斜坡……实在太强大了……

星期天歇了一天，看见了俞俊这个猛男。然后俞猛男和罗师兄做饭，顺便也捎上我的那份了。

然后就是口试，实在是乏善可陈，做完了都没啥感觉……就是ADS特别难，文章看得不太懂，然后游泳发挥出50米蛙泳自救的本色，考了个0分，还好跑步把分数补齐了，但是肌肉到现在还是相当痛……

X的饭菜的确不错，比Kleber的好多了，而且每个宿舍（一共几十人）都有一个设备齐全的厨房，实在是太好了啊啊啊~~~

好像也没啥好说的，就这么多吧~~~我该睡觉了……

学期已近尾声，口试复习也差不多了。我们也要准备走人了。

收拾了不少东西，要准备去巴黎的行李，还有要留下来下学年带走的行李。累得半死。扔了很多试卷，尤其是自己写的答案。那时候写个半死，到最后还是要扔掉。还有一些练习和讲义留给师弟了，应该还是有用的。

赶早班火车，6点45分的TGV，所以要很早很早就走人。星期五大扫除以便后勤处收房子，晚上给师弟交代了一些事情，然后就睡觉了。

今天早上5点爬起来，收拾好东西之后，就还钥匙准备走人了。

黯淡晨光之中，我们走出了Lycee Kleber的F楼，就这样结束了我们在这里两年的生活。

考了一个多月的笔试终于考完了，写点文字以资记录。

这一连串的笔试从4月22号开始，到今天5月25号结束，总计有26场考试，总计考试时间为89.5小时。其实也不是很多。

第一场是Mines的，考场在我们学校附近的某大型封闭不知道用来干啥的仓库状物体内。一共几百人就在那仓库状内考试。第一天去的时候没有经验，早上只穿了一件短袖，后来考到一半已经被冻个半死了；后来下午又穿了一大堆衣服，谁知道经过中午的暴晒，考场闷热无比……不过当然之后几天就有经验没问题了。

由于考试的时候正值学校放假，所以午饭只能自己做。这个时候能定时的电饭煲的优势就显现出来了，不用等就可以吃午饭了~~~

第二场是Centrale，在我们学校考，有主场优势，所以可以睡得稍微晚一点。Centrale跟别的有点不同，它每场考试每人发几张答题纸，然后就不再发了，答题纸同时充当草稿纸。对于我这种写东西非常节省空间而又精炼的人来说，这样的后果就是每次都拿一大叠东西回去……Centrale也是唯一一间LV1有中文的，中文考试的Version是日人民报海外版的文章，真是相当河蟹。

当然，学校仍然放假中，所以还是要自己做午饭……

接着是CCP，著名烂banque，所以也没报，休息了一个星期。学校不放假了，不用自己做午饭了，所以就好好休息并复习了一个星期~~~

然后重头戏开始了。Polytechnique，也就是X。不过这个不是我们主场，是去一个很偏僻的叫Lycée Couffignal的中学。不过坐Tram很快就到了，半个小时吧。军人监考，时间到了的话是要站起来的。用的纸也比别的banque大得多，是A3的，所以我写的页数就更少了。第一场考试考完之后我们考场竟然有人晕了，真是非常的神奇。做人不用那么拼命的……

据去年师兄们说，到那里考试要自己找饭吃，他们吃的M记。不过我们今年好像学校和这个中学搞了个协议，我们可以到他们饭堂吃饭。他们饭堂的菜真是好啊~~~比我们饭堂好多了~~~就连碟子都特别大啊啊啊~~~不过当然也贵得多……

最后就是ENS了。这个考试以“无论你是不是好好复习都要被虐”而著称。我选的option和pchu和Henri选的不同，于是我就不用考那个6个小时的数学和5个小时的物理了。要是去考的话我估计我也是被虐的份……

主场，而且开始时间比别的banque要迟30分钟。但是经过一个月以来的早起再加上现在夏天很早就天亮的缘故，每天6点半甚至6点就爬起来了……然后就相当悠闲地上去被虐……

数学2，以为是积分，结果弄了个奇怪的多变元函数极值，浪费了前一晚的复习啊啊啊……

信息学说不上被不被虐，反正估计也没多少人做出来……

法语和英语属于肯定被虐的……

然后就是今天的最后一门，同时也是所有MP的最后一门，Math-info。看起来被虐得不算太严重。当然这就是不考6小时数学和5小时物理的报应，要比别人晚3天才能轻松。果真是天道循环报应不爽啊~~~

好了就是这样，明天继续上课，三个星期后去巴黎口试继续战斗~~~

我是很习惯看这个空间的后台统计的，之前也经常有Google.com的搜索结果进来，可以说Google.com是除了rss之外的一个很大的访问量来源。但是在Live Space升级以来，我发现从Google.com来的链接就没有出现过了，倒是多了很多live search来的，而且关键字是"windows"。

我不禁怀疑微软的智力水平。你要搞也把关键字搞得一样啊，现在这样子傻子都知道你对Google.com的链接动了手脚了。当然这是你自家地盘，但是这是不是违反了用户条款呢？

我反正一向用google，而且这种行为我最不齿了：仅仅为了推广你的live search你就开始造假了，微软？

九流。

通过优美树验证项目，我们验证了含有32或者33个顶点的数都是优美的。它们是用经过改进的算法进行验证的。

更多资料请参见：

http://fwjmath.spaces.live.com/blog/cns!6A37A2A4F21FF4DE!1307.entry

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其实追不回来也没关系，关键是要记得发生过这么一件事。

我在小学的时候学过这么一首歌，在比赛里边唱过：

火烧圆明园 郑少秋

谁令你威风扫地
谁令这火光四起
恨意冲云际
谁无怒愤 不感痛悲
曾滴了多少血汗
才夺了天工建起
用我心力建
期传万世 期传万纪
不想终是这田地
辱了家邦也辱了门楣
大火当中血肉满园
为你死正因要维护你
还望这火的震撼
能令我子孙记起
自会醒悟到
何来外侮 为何受欺

用这火为记
重提旧怨 为何受欺